On pose \(\rho\), la fonction qui attribue à un élément de \(E\) le produit de sa norme avec celle de \(\varphi_F\).

Cette fonction est sous-linéaire, donc on peut étendre \(\varphi_F\) via le Théorème de Hahn-Banach.

Cette domination a lieu à la fois pour \(x\) et pour \(-x\), ce qui montre qu'on a la même norme.

C'est immédiat par Continuité de \(\varphi\) (Densité \(\to\) tout Ouvert contient une Boule où \(\varphi\) s'annule).

On procède par contraposée et on suppose \(F\) non dense.

D'après le Lemme de Riesz, il existe un point de \(E\) de Norme \(1\) et distance avec \(F\) qui est \(\geqslant\frac12\).

On pose \(\varphi\) la fonction qui associe à la somme d'un élément de \(F\) et de \(\lambda x_0\) le coefficient \(\lambda\) (c'est une Forme linéaire).

\(F\) est continue puisqu'on peut majorer \(\lVert e+\lambda x_0\rVert\) via \(\lvert\varphi(e+\lambda x_0)\rvert\).

On peut alors utiliser le Théorème de Hahn-Banach pour prolonger \(\varphi\).

C'est une Forme linéaire non nulle qui s'annule en \(F\), ce qui prouve le résultat voulu.

On prend la suite dense dans \(E^*\) et, pour chaque terme, on pose un vecteur \(x_n\) de norme \(1\) tq \(\varphi_n(x_n)\leqslant\lVert\varphi_n\rVert/2\).

On pose \(F\) l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments \(x_n\) \(\to\) si \(F\) est dense, alors c'est gagné.

Sinon, il existe une forme linéaire qui s'annule sur \(F\), qu'on peut considérer de norme \(1\).

Par densité de \((\varphi_n)_n\), il existe un coefficient \(n\) tq \(\varphi_n\) est assez proche de \(\varphi\).

On peut alors montrer que \(\varphi\) ne s'annule pas en \(x_n\in F\), ce qui amène une contradiction.